Operações com Números Complexos

Lista de exercícios em PDF sobre Operações com Números Complexos para o 3º Ano do Ensino Médio, contendo 12 questões inéditas com gabarito completo para Download. Atividades detalhadas envolvendo forma algébrica, conjugado, módulo, potências de $i$ e representação no Plano de Argand-Gauss. Excelente material didático estruturado para professores alinharem o planejamento escolar às competências da BNCC. Copie, imprima e aplique este conteúdo prático na sua escola para testar o raciocínio algébrico e geométrico dos alunos….

O Gabarito da Atividade está disponível no final da página.

Analise as afirmações abaixo sobre o conjunto dos Números Complexos e marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso:

( ) A unidade imaginária $i$ é definida pela propriedade fundamental matemática $i^2 = -1$.
( ) No número complexo $z = 3 - 4i$, a parte real é 3 e a parte imaginária é -4i.
( ) O conjugado de um número complexo $z = a + bi$ é obtido trocando-se o sinal da sua parte imaginária, sendo representado por $\bar{z} = a - bi$.
( ) Um número complexo é considerado "imaginário puro" quando a sua parte real é nula (zero) e sua parte imaginária é diferente de zero.
( ) Na adição entre dois números complexos, deve-se somar a parte real do primeiro com a parte imaginária do segundo.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

A) V - V - F - V - F

B) V - F - V - V - F

C) F - V - V - F - V

D) V - F - F - V - V

Relacione a primeira coluna com os conceitos, símbolos e propriedades dos números complexos na segunda coluna:

(1) $z = a + bi$
(2) $\bar{z} = a - bi$
(3) $i^2$
(4) $\sqrt{a^2 + b^2}$
(5) $i$

( ) Representa o módulo do número complexo, que geometricamente é a sua distância até a origem.
( ) Representa o conjugado de um número complexo.
( ) Unidade imaginária fundamental, matematicamente equivalente a $\sqrt{-1}$ .
( ) Forma algébrica padrão de representação de um número complexo.
( ) Possui valor numérico fundamental e constante igual a $-1$ .

A sequência correta de preenchimento é:

A) 2 - 4 - 5 - 1 - 3

B) 5 - 1 - 2 - 4 - 3

C) 4 - 2 - 1 - 3 - 5

D) 4 - 2 - 5 - 1 - 3

Gráfico do Plano de Argand-Gauss (plano cartesiano para complexos):

O eixo horizontal é rotulado como

Re

(Eixo Real) e o eixo vertical como

Im

(Eixo Imaginário). Um ponto

P

está desenhado no plano, e linhas tracejadas o conectam ao número 3 no eixo real e ao número 4 no eixo imaginário.
Com base nas coordenadas geométricas do ponto

P

no Plano de Argand-Gauss:
a) Escreva esse número complexo (

z

) na sua forma algébrica.

b) Calcule o módulo desse número complexo.

Um quadro negro escolar contendo a anotação em destaque do número complexo

w = -5 + 2i

. Abaixo dele, existem dois espaços em branco apontados por setas: um escrito "

Re(w) = ?

" e outro "

Im(w) = ?

Extraindo os dados puramente algébricos do quadro:

a) Identifique o valor numérico exato da parte real e da parte imaginária desse número.

b) Determine como ficará escrito o conjugado (

\bar{w}

) desse número complexo.

Um diagrama de caixas (fluxograma) mostrando dois números complexos entrando em uma máquina de calcular. Os números na entrada são $z_1 = 7 + 3i$ e $z_2 = 2 - 5i$ . Duas setas de saída pedem os resultados de duas operações: a Soma e a Subtração.

Simulando o processamento dessa máquina:

a) Calcule o resultado da operação de soma:

z_1 + z_2

.

b) Calcule o resultado da operação de subtração:

z_1 - z_2

Dados os números complexos

z = 4 + 6i

w = -1 + 2i

, qual é a forma algébrica resultante da operação

z + w

A) $3 + 4i$

B) $3 + 8i$

C) $5 + 4i$

D) $5 + 8i$

Ao aplicar a propriedade distributiva para multiplicar os números complexos

(2 + i)

(3 - 2i)

, lembrando sempre que

i^2 = -1

, obtém-se o resultado final de:

A) $4 + 2i$

B) $6 - 2i$

C) $8 + i$

D) $8 - i$

Para dividir dois números complexos, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador. Aplicando essa regra na divisão

\frac{4 + 2i}{1 + i}

, qual é o resultado encontrado?

A) $1 + 3i$

B) $2 + 2i$

C) $3 - i$

D) $3 + i$

Sabemos que as potências de

i

se repetem em ciclos de quatro valores:

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = -1

i^3 = -i

. Para descobrir o valor de uma potência maior, basta dividir o expoente por 4 e observar o resto. Seguindo essa regra, determine o resultado simplificado de

i^{35}

A) $1$

B) $i$

C) $-1$

D) $-i$

10)

Dois números complexos são idênticos somente se suas partes reais e imaginárias forem rigorosamente iguais. Dada a igualdade algébrica

2x + (y + 1)i = 8 + 5i

, determine os valores corretos para as incógnitas

x

y

A) $x = 2$, $y = 3$

B) $x = 4$, $y = 6$

C) $x = 8$, $y = 5$

D) $x = 4$, $y = 4$

11)

Uma propriedade notável na matemática diz que a multiplicação de um número complexo

z

pelo seu conjugado

\bar{z}

sempre resulta em um número real puro e positivo (igual ao quadrado do módulo). Dado

z = 3 - 2i

, qual é o resultado matemático da operação

z \cdot \bar{z}

A) $5$

B) $9$

C) $13$

D) $15$

12)

O módulo de um número complexo mede geometricamente a distância da ponta do seu vetor até o centro (origem) do plano de Argand-Gauss. Qual é o módulo (distância) exato do número complexo

w = 8 + 6i

A) $10$

B) $2$

C) $14$

D) $100$

Questão 1: B

Questão 2: D

Questão 3:

a)
O eixo real $a = 3$ e o eixo imaginário $b = 4$.$z = 3 + 4i$

b)$\rho = \sqrt{3^2 + 4^2}$$\rho = \sqrt{9 + 16}$$\rho = \sqrt{25}$$\rho = 5$

Questão 4:

a)$Re(w) = -5$$Im(w) = 2$

b)
Para o conjugado, inverte-se apenas o sinal da parte imaginária.$\bar{w} = -5 - 2i$

Questão 5:

a)$z_1 + z_2 = (7 + 3i) + (2 - 5i)$$z_1 + z_2 = (7 + 2) + (3 - 5)i$$z_1 + z_2 = 9 - 2i$

b)$z_1 - z_2 = (7 + 3i) - (2 - 5i)$$z_1 - z_2 = 7 + 3i - 2 + 5i$$z_1 - z_2 = (7 - 2) + (3 + 5)i$$z_1 - z_2 = 5 + 8i$

Questão 6: B

Questão 7: D

Questão 8: C

Questão 9: D

Questão 10: D

Questão 11: C

Questão 12: A

Plano de Aula da Atividade

Plano de Aula: Matemática – Operações com Números Complexos

Séries: 3ª Série do Ensino Médio (Estudo dos conjuntos numéricos, ampliação do campo dos números reais, raízes de números negativos e geometria analítica complexa).

Habilidades BNCC:

EM13MAT301: Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas (com ampliação natural para o plano complexo).
EM13MAT501: Investigar relações entre números expressos em diferentes representações e explorar as operações geométricas no plano de Argand-Gauss.
EM13MAT503: Investigar pontos e grandezas no plano cartesiano, utilizando o sistema de coordenadas para representar e operar vetores e números complexos em conformidade com currículos avançados e o Referencial Curricular de Rondônia (RCRO).

Objetivos do Conhecimento:

Forma Algébrica: Compreender a estrutura $z = a + bi$ , identificando corretamente a parte real $Re(z)$ e a parte imaginária $Im(z)$ .
Conjugado e Módulo: Definir o conjugado $\bar{z} = a - bi$ e calcular o módulo utilizando a fórmula $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Operações Matemáticas: Efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão (utilizando a racionalização com o conjugado).
Potências de $i$ : Compreender a repetição cíclica das potências da unidade imaginária, aplicando a divisão do expoente por 4, onde $i^2 = -1$ .

Objetivos da Aula:

Identificar as coordenadas dos números complexos em imagens esquemáticas do Plano de Argand-Gauss.
Simplificar expressões algébricas envolvendo a unidade imaginária, reduzindo-as à forma padrão.
Desenvolver resoluções matemáticas diretas e isolar variáveis ( $x$ e $y$ ) a partir da igualdade de dois números complexos.

Operações com Números Complexos

Atividades pra baixar:

Eixos e termos de posição e direção

Teste: Migrações

Contrato Pedagógico de Geografia

Prova de Geografia: América

Resolução - Questão 1

Resolução - Questão 2

Resolução - Questão 3

Resolução - Questão 4

Resolução - Questão 5

Resolução - Questão 6

Resolução - Questão 7

Resolução - Questão 8

Resolução - Questão 9

Resolução - Questão 10

Resolução - Questão 11

Resolução - Questão 12